PROPOSICIONES BICONDICIONALES

1.2.3 Proposición bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y so´lo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p ←→ q La interpretación del enunciado es:

“p si y so´lo si q” 

se le llama “proposición bicondicional” y se nota por

p ← → q

La interpretaci´on del enunciado es:

  

p s´olo si q y p si q

o lo que es igual

si p, entonces q y si q, entonces p

es decir,

(p - → q) ∧ (q - → p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

EQUIVALENCIAS LOGICAS

1.2.4 Equivalencias Lógicas más Comunes

Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben.

Idempotencia de la conjunción y la disyunción.

(P ∧P) ⇐⇒ P 

(P ∨P) ⇐⇒ P  

 Conmutatividad de la conjunción y la disyunción. 

(P ∧Q) ⇐⇒ (Q∧P) 

(P ∨Q) ⇐⇒ (Q∨P) 

Asociatividad de la conjuncion y la disyunción

[(P ∧Q) ∧R] ⇐⇒ [P ∧ (Q∧R)]

 [(P ∨Q) ∨R] ⇐⇒ [P ∨ (Q∨R)] 

Distributividad de ∧ respecto de ∨ y de ∨ respecto de ∧.

[P ∧ (Q∨R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) ∨ (P ∧R)]

 [P ∨ (Q∧R)] ⇐⇒ [(P ∨Q) ∧ (P ∨R)]

 Leyes de De Morgan.

¬ (P ∨Q) ⇐⇒ (¬P ∧Q)

 ¬ (P ∧Q) ⇐⇒ (¬P ∨Q)

Leyes de dominación.

P ∨T ⇐⇒ T

P ∧C ⇐⇒ C

                                               

Leyes de identidad.

P ∧T ⇐⇒ P

P ∨C ⇐⇒ P

 Doble negación.

¬¬P ⇐⇒ P

 Implicación.

(P - → Q) ⇐⇒ (¬P ∨Q)

Exportación.

[P - → (Q - → R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) - → R]

Contrarrecíproca.

(P - → Q) ⇐⇒ (¬Q - → ¬P)

Reducción al Absurdo.

(P - → Q) ⇐⇒ [(P ∧¬Q) - → C]