PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDAD

INTRODUCCIÓN A LA  LÓGICA MATEMÁTICA

CAPITULO 1

             

1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad

En el desarrollo de cualquier teoría matemática se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

1.1.1 Proposición

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo 1.1 Las siguientes a fi rmaciones son proposiciones.

(a) Gabriel García Márquez escribío Cien años de soledad.

(b) 6 es un número primo.

(c) 3 + 2 = 6

(d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es. 

Nota 1.1 Las proposiciones se notan con letras minúsculas, p, q, r ...... La notación p: Tres más cuatro es igual a siete se usa para definir qué es la proposición "tres más cuatro es igual a siete" .

Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no pueden descomponerse en otras.

Ejemplo: Las siguientes no son proposiciones.

(a) x + y> 5

(b) ¿Te vas?

(c) Compra cinco azules y cuatro rojas.

(d) x = 2

Solución

En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición que es verdadera o falsa dependiendo de los valores de tiempo que ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. Desde el punto de vista lógico, carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solo interesa su valor de verdad.

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VALOR DE VERDAD

1.1.2 Valor de Verdad

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

Ejemplo: Dígase cuales de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean.

(a) p: Existe Premio Nobel de informática.

(b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida.

(c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación.

(d) s: Cinco más siete es grande.

Solución:

(a) p es una proposición falsa, es decir su valor de verdad es Falso.

(b) No sabemos si q es una proposición ya que desconocemos si esta afirmación es verdadera o falsa.

(c) r no es una proposición ya que no es verdadera ni es falsa. Es un mandato.

(d) s no es una proposición ya que su enunciado, al carecer de contexto, es ambiguo. En efecto, cinco nin˜as más siete niños es un número grande de hijos en una familia, sin embargo cinco monedas de cinco cinco céntimos más siete monedas de un céntimo no constituyen una cantidad de dinero grande.

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TABLAS DE VERDAD

1.1.3 Tablas de Verdad

La tabla de verdad de una propuesta compuesta de todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, ..., pn. 

Ejemplo: Por ejemplo, si P es una propuesta compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P podría ser una selección de los siguientes valores de verdad.
                          1.1.5 Tablas de Verdad
La tabla de verdad de una propuesta compuesta de todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, ..., pn. Ejemplo 1.5 Por ejemplo, si P es una propuesta compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P podría ser una selección de los siguientes valores de verdad.

p1 p2 p3

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

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CONECCIÓN ENTRE PROPOSICIONES Y CONJUNCIÓN

1.1.4 Conexión entre Proposiciones

Estudiamos en este apartado las distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.

1.5 Conjunción

Dadas las dos proposiciones cuando se trata de pyq, llamaremos conjunción de ambas a la propuesta de la "pyq" y la notaremos p∧q. Esta proposición será 'únicamente en caso de que ambas proposiciones sean.

Observen que la palabra dada se sigue directamente que si pyq son, entonces, verdaderas entonces p∧q es la verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p∧q es falsa. 
Por lo tanto, su tabla de verdad vendrá dada por

Observese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p∧q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p∧q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa

DISYUNCIÓN

1.1.5 Disyunción

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p  o´ q” y la notaremos p∨q. Esta proposición sera´ verdadera si al menos una de las dos p o´ q lo es. De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces p∨q es verdad y que p∨q ser´a falsa, únicamente si ambas lo son.

Su tabla de verdad ser´a, por tanto,

Haciendo el razonamiento contrario si pYq es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si pYq es falsa, solo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad. 

Nota 1.3 Salvo que especifiquemos lo contrario, “o” ser´a usado en el primero de los sentidos. 

Esta discusión pone de manifiesto la precisión que ganamos con el lenguaje simbólico: p∨q está definida por su tabla de verdad y siempre significa p y/´o q.

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NEGACIÓN TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES

1.2  Negación

Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera´ verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

La tabla de verdad de esta nueva proposici´on, ¬p, es:

1.2.1 Tautologías y Contradicciones

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1,p2,...,pn 

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1,p2,...,pn. 

P es una Contradiccion si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1,p2,...,pn.

En adelante, notaremos por “C” a una contradiccion y por “T” a una tautologıa.

Una proposición P que no es tautologıa ni contradiccion se llama, usualmente, Contingencia.

Ejemplo: Probar que la proposición compuesta p∨¬p es una tautología y la p∧¬p es una contradicción.

Solución

En efecto:

Logica Matematica TESS DE LOGICA

PROPOSICIONES CONDICIONALES

1.2.2 Proposición Condicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “si p, entonces q” se le llama “proposición condicional” y se nota por

 p - → q 

A la proposición “p” se le llama hipo´tesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional.

 Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipo´tesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa de una hipo´tesis verdadera).

De acuerdo con esta definici´on su tabla de verdad es,

Observese que si p −→ q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p −→ q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa. 

EXAMEN FINAL

• 1. DETERMINA CUÁL DE LOS SIGUIENTE ENUNCIADOS NO ES UNA PROPOSICIÓN

A) LOS DEDOS DE LA MANO SON CINCO
B) LA FLAUTA DULCE ES UN INSTRUMENTO DE VIENTO
C) UNA HORA TIENE 60 MINUTOS
D) ¡HUY, ESTÁ HACIENDO UN CALOR!
E) ALGUNOS ZAPATOS TIENEN CORDONES

• 2. ENCUENTRA EL NÚMERO QUE CUMPLE LA SIGUIENTE CONDICIÓN: "QUE SEA DIVISIBLE POR 8, POR 9 Y QUE NO LO SEA POR 72"

A) 144
B) 8
C) 72
D) 9
E) 128

• 3. LA CONJUNCIÓN DE LAS PROPOSICIONES p y q SE SIMBOLIZA:

A) p ˄ q
B) p → q
C) p ˅ q
D) p ˜ q
E) p * q

• 4. UNA PROPOSICIÓN ES DISYUNTIVA CUANDO UTILIZA EL CONECTIVO LÓGICO:

A) "Y...O..."
B) "O"
C) "SI...ENTONCES..."
D) "Y"
E) "NEGACIÓN"

• 5. UNA CONJUNCIÓN ES VERDADERA CUANDO:

A) LA PRIMERA PROPOSICIÓN ES VERDADERA Y LA SEGUNDA FALSA
B) SOLO CUANDO UNA PROPOSICIÓN ES SIMPLE
C) LA PRIMERA PROPOSICIÓN ES FALSA Y LA SEGUNDA VERDADERA
D) AMBAS PROPOSICIONES SIMPLES SON VERDADERAS
E) AMBAS PROPOSICIONES SIMPLES SON FALSAS

• 6. CUÁL ES LA NEGACIÓN DE LA SIGUIENTE PROPOSICIÓN SIMPLE: "IBAGUÉ ES LA CAPITAL DEL TOLIMA"

A) IBAGUÉ SI ES LA CAPITAL DEL TOLIMA
B) IBAGUÉ NO ES LA CAPITAL DEL TOLIMA
C) IBAGUÉ ES LA CIUDAD MUSICAL DEL TOLIMA
D) LA CAPITAL DEL TOLIMA ES IBAGUÉ
E) EN IBAGUÉ ESTÁ LA UNIVERSIDAD DEL TOLIMA

• 7. UNA DISYUNCIÓN ES FALSA CUANDO:

A) LA PRIMERA PROPOSICIÓN ES VERDADERA Y LA SEGUNDA FALSA
B) AMBAS PROPOSICIONES SIMPLES SON FALSAS
C) LA PRIMERA PROPOSICIÓN ES FALSA Y LA SEGUNDA VERDADERA
D) LA SEGUNDA PROPOSICIÓN ES UNA NEGACIÓN
E) LAS DOS PROPOSICIONES SON VERDADERAS

• 8. CUÁL ES EL VALOR DE VERDAD DE LA SIGUIENTE CONJUNCIÓN: "EN MARZO SE CELEBRA EL DÍA DE LA MUJER Y EN MAYO EL DÍA DE LA MADRE"

A) IMPLICACIÓN
B) NEGACIÓN
C) FALSO
D) DISYUNCIÓN
E) VERDADERO

• 9. UNA PROPOSICIÓN DE LA FORMA SI p, ENTONCES q, RECIBE EL NOMBRE DE:

A) DISYUNCIÓN

B) CONJUNCIÓN

C) NEGACIÓN
D) PROPOSICIÓN
E) IMPLICACIÓN

• 10. UNA IMPLICACIÓN ES FALSA CUANDO:

A) NO TIENE CONCLUSIÓN
B) LA HIPOTESIS Y LA CONCLUSIÓN SON FALSAS
C) LA HIPOTESIS ES FALSA Y LA CONCLUSIÓN VERDADERA
D) LA HIPOTESIS Y LA CONCLUSIÓN SON VERDADERAS
E) LA HIPOTESIS ES VERDADERA Y LA CONCLUSIÓN FALSA

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PROPOSICIONES BICONDICIONALES

1.2.3 Proposición bicondicional

Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y so´lo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se nota por p ←→ q La interpretación del enunciado es:

“p si y so´lo si q” 

se le llama “proposición bicondicional” y se nota por

p ← → q

La interpretaci´on del enunciado es:

  

p s´olo si q y p si q

o lo que es igual

si p, entonces q y si q, entonces p

es decir,

(p - → q) ∧ (q - → p)

Por tanto, su tabla de verdad es:

EQUIVALENCIAS LOGICAS

1.2.4 Equivalencias Lógicas más Comunes

Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben.

Idempotencia de la conjunción y la disyunción.

(P ∧P) ⇐⇒ P 

(P ∨P) ⇐⇒ P  

 Conmutatividad de la conjunción y la disyunción. 

(P ∧Q) ⇐⇒ (Q∧P) 

(P ∨Q) ⇐⇒ (Q∨P) 

Asociatividad de la conjuncion y la disyunción

[(P ∧Q) ∧R] ⇐⇒ [P ∧ (Q∧R)]

 [(P ∨Q) ∨R] ⇐⇒ [P ∨ (Q∨R)] 

Distributividad de ∧ respecto de ∨ y de ∨ respecto de ∧.

[P ∧ (Q∨R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) ∨ (P ∧R)]

 [P ∨ (Q∧R)] ⇐⇒ [(P ∨Q) ∧ (P ∨R)]

 Leyes de De Morgan.

¬ (P ∨Q) ⇐⇒ (¬P ∧Q)

 ¬ (P ∧Q) ⇐⇒ (¬P ∨Q)

Leyes de dominación.

P ∨T ⇐⇒ T

P ∧C ⇐⇒ C

                                               

Leyes de identidad.

P ∧T ⇐⇒ P

P ∨C ⇐⇒ P

 Doble negación.

¬¬P ⇐⇒ P

 Implicación.

(P - → Q) ⇐⇒ (¬P ∨Q)

Exportación.

[P - → (Q - → R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) - → R]

Contrarrecíproca.

(P - → Q) ⇐⇒ (¬Q - → ¬P)

Reducción al Absurdo.

(P - → Q) ⇐⇒ [(P ∧¬Q) - → C]